• Was ist der Unterschied zwischen träger Masse und schwerer Masse?
  • Wieso sind Gravitation und Beschleunigung nicht zu unterscheiden?

Träge und schwere Masse

Wann hat etwas "viel Masse"? Als erstes würde man vielleicht sagen, wenn es schwer ist. Das ist aber nicht die einzige Möglichkeit. Tatsächlich muss man zwischen zwei Arten von Massen unterscheiden.

Newtons Gravitationsgesetz lautet

$$\vec{F}=Gm_sM_s\vec{e}_r/r^2.$$

\(\vec{F}\) ... Kraftvektor
\(G\) ... Gravitationskonstante
\(m_s\) ... schwere Masse 1
\(M_s\) ... schwere Masse 2
\(\vec{e}_r\) ... Richtungsvektor, welcher genau auf der Verbindungslinie zwischen den Schwerpunkten der beiden Massen liegt
\(r\) ... Abstand der beiden Massenschwerpunkte

Es beschreibt die Anziehungskraft zweier Massen. Je größer diese Kraft ist, desto schwerer sind die Massen. In diesem Kontext spricht man darum von der schweren Masse ms.

Eine zweite Relation, in der Masse vorkommt, ist Newtons 2. Axiom:

$$\vec{F}=m_t\vec{a}$$

\(\vec{F}\) ... Kraftvektor
\(m_t\)  ... träge Masse
\(\vec{a}\) ... Beschleunigungsvektor, welcher in die Richtung des Kraftvektors zeigt

Hier ist die Masse \(m_t\) ein Maß für den Widerstand, den ein Körper der Änderung der Geschwindigkeit (also der Beschleunigung \(\vec{a}\)) entgegensetzt. Bei gleicher Kraft \(\vec{F}\) ist die Beschleunigung \(\vec a\) eines Körpers umso größer, je kleiner dessen Masse \(m_t\) ist. Deshalb spricht man in diesem Kontext von der trägen Masse \(m_t\).

Wir unterscheiden zwischen schwerer Masse und träger Masse.

Beide Massenarten sind völlig unabhängig von einander, da sie auf zwei verschiedene Phänomene zurückgehen. Die schwere Masse verhält sich nämlich (im Gegensatz zur trägen Masse) wie die elektrische Ladung eines Körpers, welche Anziehungskräfte nach dem Coulomb-Gesetz zwischen zwei elektrisch geladenen Körpern erzeugt:

$$\vec{F}=q_1q_2\vec{e}_r/(4\pi\epsilon_0r^2)$$

\(\vec{F}\) ... Kraftvektor
\(q_1\) ... Ladung des Körpers 1
\(q_2\) ... Ladung des Körpers 2
\(\vec{e}_r\) ... Richtungsvektor, welcher genau auf der Verbindungslinie zwischen den Ladungsmittelpunkten der beiden Massen liegt
\(4\pi\epsilon_0\) ... Skalierungsfaktor
\(r\) ... Abstand der beiden Ladungsmittelpunkte

Experimentell konnte jedoch bis heute kein Unterschied zwischen träger und schwerer Masse, zum Beispiel durch Galileis Fallgesetz, welches besagt, dass alle Körper gleich schnell fallen, festgestellt werden. Sie sind äquivalent. Man spricht deshalb vom Äquivalenzprinzip und nur noch von der Masse \(m\).

Dies ist keine triviale Feststellung. Vielmehr wird diese Aussage für die Allgemeine Relativitätstheorie zum zentralen Ausgangspunkt. Denn Einsteins Überlegungen bezüglich Raumkrümmungen, welche durch Massen hervorgerufen werden, lassen sich durch folgendes Gedankenexperiment veranschaulichen

Eine Person in einer Rakete ohne Fenster kann experimentell nicht unterscheiden, ob sich die Rakete mit der Beschleunigung \(\vec{a}\) in der Schwerelosigkeit bewegt (mittleres Bild), oder ob sie sich in einem Gravitationsfeld mit der Gravitationskonstanten \(\vec{g}\) befindet und ruht (linkes Bild), sofern beide Beschleunigungen genau gleich sind. Im ersten Fall spürt die Person die träge Masse, im zweiten Fall die schwere Masse. Der Betrag von \(\vec{a}\) beziehungsweise \(\vec{g}\) ist sehr wohl messbar, die zugrundeliegende Ursache jedoch nicht.

ÄquivalenzprinzipÄquivalenzprinzip: Im Inneren einer Rakete kann man nicht unterscheiden, ob sie sich in Ruhe in einem Schwerefeld befindet (links) oder beschleunigt wird (Mitte). Das rechte Bild zeigt eine Rakete in Ruhe ohne Schwerefeld, genauso gut könnte sie aber in einem Schwerefeld frei fallen. Die kleinen Punkte stellen die Wurfbahn eines Balles dar. Äquivalenzprinzip, Alexander Gorfer (quant.uni-graz.at), CC-BY-SA 4.0

Die Ununterscheidbarkeit von träger und schwerer Masse bemerken wir beispielsweise auch im Fahrstuhl. Wenn der Fahrstuhl nach oben beschleunigt, werden wir in den Boden gedrückt. Es fühlt sich so an als ob wir plötzlich schwerer sind, in Wahrheit ist unser Körper jedoch einfach nur träge. 

Zudem ist nicht zu unterscheiden, ob die Rakete in einem Gravitationsfeld frei fällt oder ob sie sich in Schwerelosigkeit befindet (rechtes Bild). Aus diesem Grund sind auch sogenannte Parabelflüge möglich, mit denen Schwerelosigkeit simuliert werden kann. Das Flugzeug bewegt sich dabei auf der Bahn einer Wurfparabel. Eine Wurfparabel ist genau die Flugbahn, welcher beispielsweise ein Tennisball folgt, wenn man ihn schräg nach oben wirft. Halten wir also fest: Wenn eine Person in der Rakete einen Tennisball fallen lässt, kann sie keinen Unterschied feststellen ob der Ball deshalb zu Boden fällt, weil die Rakete beschleunigt wird, oder weil sie sich in einem Gravitationsfeld befindet.

Doch wie sieht es aus, wenn wir anstelle des Balles ein masseloses Objekt wie einen Laserstrahl verwenden? Licht hat keine Masse, weshalb der Lichtstrahl nur durch die beschleunigte Rakete gekrümmt erscheinen kann - es sei denn, Masse krümmt den Raum, wodurch wieder beide Fälle (also beschleunigte Rakete und ruhende Rakete im Gravitationsfeld) nicht mehr zu unterscheiden sind. Der Lichtstrahl erscheint in beiden Fällen gekrümmt.

Unsere Sinnesorgane sind übrigens nur auf Beschleunigungen sensibilisiert. Jeder kennt wahrscheinlich die Situation: Wenn man am Bahnhof in einem ruhenden Zug sitzt und ein anderer Zug ganz langsam vorbeifährt, kann man nicht unterscheiden, ob der eigene Zug in Bewegung ist oder der andere.

Video: Parabelflüge.

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