• Was meinen wir, wenn wir in der Physik von einer Symmetrie sprechen?
  • Was für Konsequenzen haben Symmetrien in der Physik?
  • Was für Symmetrien kennen wir?
  • Warum sind Symmetrien in der Theoriefindung so wichtig?

Schon bei den alten Griechen spielten Symmetrien in der Physik eine große Rolle. So wurden die Planetenbahnen in unserem Sonnensystem als Kreisbahnen angenommen, da dies die symmetrischsten Trajektorien sind. Natürlich stellte sich später heraus, dass dem nicht so ist. Ganz falsch war der Blick auf Symmetrien hinsichtlich ihrer Bedeutung für die Physik jedoch nicht. Wir werden sehen, dass auch hier ein scheinbar triviales Thema wie Symmetrie uns die Tür zu weit mehr öffnen wird, als wir zu Beginn vermuten würden. Es gibt nämlich einen Zusammenhang zwischen Symmetrien und Erhaltungsgrößen, welche Rechnungen bedeutend vereinfachen oder erst möglich machen.

In diesem Artikel werden wir zudem den Begriff des theoretischen Modells aufgreifen.

Theoretische Modelle

In der theoretischen Physik betrachtet man sehr oft vereinfachte Modelle. Dadurch lassen sich Zusammenhänge besser erkennen. Es ist eine Gratwanderung, wenn wir uns entscheiden müssen, was wir in unseren vereinfachten Modellen vernachlässigen können und was nicht. Vergessen wir beispielsweise einen wichtigen Aspekt, so werden wir niemals in irgendeiner Form eine Übereinstimmung mit experimentellen Ergebnissen erreichen. Nehmen wir hingegen jeden noch so kleinen Einfluss in unseren Berechnungen mit, so werden wir sie entweder nur mühsam oder gar nicht lösen können, da sie zu kompliziert werden.

Beispielsweise müssen wir die Rotation der Erde miteinbeziehen, wenn wir das Phänomen der Corioliskraft und somit die Entstehung von Hurrikans verstehen wollen. Beim Billard Spielen müssen wir uns jedoch nicht darum kümmern, da hier die Effekte der Corioliskraft verschwindend klein sind.

Wenn wir im folgenden Gedankenexperiment also von unendlich großen, unendlich schweren Dingen sprechen, sind das Vereinfachungen. Das heißt aber nicht, dass unsere Näherungen absurd sind. So heißt "theoretisch" bei weitem nicht, dass etwas nur "theoretisch funktioniert". Eine Theorie ist vielmehr die mathematische Beschreibung unserer vereinfachten Modelle, welche oftmals verblüffend genaue Voraussagen liefert.

Was ist eine Symmetrie?

Eine Symmetrie liegt vor, wenn man an einem System eine Transformation vornimmt (beispielsweise eine Drehung, eine Spiegelung,...) und sich an dem System nichts ändert. Beispielsweise ist eine Kugel rotationssymmetrisch. Das heißt drehen wir eine Kugel um irgendeine Achse um irgendeinen Winkel, sieht die Kugel für uns immer noch gleich aus. Hier sprechen wir von einer kontinuierlichen Symmetrie.
Drehen wir jedoch einen Würfel um die Hauptachsen um einen Winkel, welcher nicht ein Vielfaches von \(90°\) ist, sieht der Würfel verdreht aus. Er ist nur symmetrisch unter Drehungen von Vielfachen von \(90°\), also nur für bestimmte Werte. Deshalb wird diese Symmetrie als diskrete Symmetrie bezeichnet.

Spiegelungen sind auch eine diskrete Symmetrietransformation, denn wir können nur ganzzahlig spiegeln. Eine halbe Spiegelung ist nicht definiert.

Wir unterscheiden zwischen diskreten Symmetrien und kontinuierlichen Symmetrien.

Kristalle sind ein Beispiel für Objekte, welche diskrete Symmetrien aufweisen. Diese Symmetrien, welche sich bei Kristallen bis auf die atomare Ebene durchziehen, verhelfen uns, Materialeigenschaften von Kristallen zu berechnen, was etwa für die Halbleitertechnologie von großer Bedeutung ist.

 
Pyritkristall. Quelle: Wikipedia User JJ Harrison, CC-BY-SA 3.0
Pyrit Elementarzelle. Quelle: Wikipedia User OrciCC-BY-SA 3.0  

Kontinuierliche Symmtrien haben eine Besonderheit. Emmy Noether, eine deutsche Mathematikerin, leitete mathematisch her, dass kontinuierliche Symmetrien zu Erhaltungsgrößen führen. So lässt sich die Energieerhaltung aus der Zeittranslationsinvarianz  herleiten. Invariant heißt bei veränderten Bedingungen unverändert bleibend. Zeittranslationsinvarianz heißt also, dass ein Experiment dasselbe Ergebnis liefert, egal ob es jetzt oder in der Zukunft durchgeführt wird. Wenn wir beispielsweise ein Pendel anstoßen, und es schwingt heute genau so wie in hundert Jahren, dann muss die Energie in dem System Pendel erhalten sein. In Wirklichkeit kommt es natürlich zu einem Energieverlust durch Reibung, Luftwiderstand etc., welcher das Pendel verlangsamt, bis es stillsteht - die Energie ist dann offensichtlich im System Pendel nicht erhalten.

Aus der Translationsinvarian, das heißt es ist egal, ob ein Versuch ''hier'' oder ''dort'' durchgeführt wird, lässt sich die Impulserhaltung herleiten. Die oben erwähnte Rotationsinvarianz führt zur Drehimpulserhaltung.

Das alles klingt jetzt wahrscheinlich recht sonderbar. Wichtig ist für uns aber in erster Linie nicht wie wir von Symmetrien auf Erhaltungsgrößen schließen können, sondern dass wir es können. Eine Herleitung ist für hier mathematisch zu anspruchsvoll. Hier nochmals eine Zusammenfassung:

Translationssymmetrie → Impulserhaltung
Rotationssymetrie → Drehimpulserhaltung
Zeitliche Symmetrie → Energieerhaltung

Impulserhaltung

Sehen wir uns nun die Impulserhaltung näher an. Betrachten wir eine Kugel, welche schräg auf eine Wand fliegt. Dabei idealisieren wir und vernachlässigen Luftwiderstand, Gravitation usw. und analysieren den Bewegungsablauf. Die Kugel wird auf der Wand, welche wir als unendlich schwer und unendlich ausgedehnt annehmen, auftreffen und im gleichen Winkel, wie sie aufgetroffen ist, wieder davon fliegen.

Jene Komponente des Impulses, welche parallel zur Wand ist, also \(\vec p_x\), ist dabei erhalten.

Die Komponente im rechten Winkel dazu (von der Wand weg), ist jedoch nicht erhalten, da bei der Impulserhaltung nicht nur der Betrag des Impulses, sondern auch seine Richtung von Bedeutung ist. Der Impuls ist eine vektorielle Größe, das heißt er wird durch einen Betrag und eine Richtung beschrieben. Die rechtwinklige Komponente \(\vec p_y\) ändert (im Gegensatz zu \(\vec p_x\)) beim Abprallen an der Wand das Vorzeichen.

Grund dafür ist die Translationsinvarianz, welche in die \(x-\)Richtung gegeben ist, nicht aber in die \(y-\)Richtung. Es macht nämlich keinen Unterschied, ob wir die Kugel zu Beginn des Versuchs parallel zur Wand verschieben. Die Versuchsanordnung sieht immer gleich aus, da die Wand ja unendlich lang ist. Verschieben wir die Kugel aber näher zur Wand oder weiter weg, kann man einen Unterschied zur vorherigen Position erkennen. Deshalb ist in diese Richtung der Impuls nicht erhalten.
ImpulserhaltungGedankenexperiment über Symmetrie: Eine Kugel wird auf eine unendlich schwere und unendlich ausgedehnte Wand gestoßen. Impulserhaltung, Alexander Gorfer (quant.uni-graz.at), CC-BY-SA 4.0

Weitere Symmetrien

Es gibt noch eine Reihe weiterer (teilweise nicht so einfache) Symmetrien, welche Rückschlüsse auf Erhaltungsgrößen zulassen.

Ein wichtiges Naturgesetz ist die Ladungserhaltung. Mathematisch ist sie auf die sogenannte Eichinvarianz zurückzuführen. Dabei ist eine Eichung so etwas wie das Festlegen des Nullpunktes einer Messung, ohne dass sich das Messergebnis ändert. So können wir beispielsweise die Höhe des Stephansdoms aus den absoluten Höhen vom Stephansplatz und der Turmspitze über dem Meeresspiegel berechnen. Oder wir können einfach den Stephansplatz auf die Höhe \(0\) setzen und von dort aus die Höhe des Turmes messen. Wir werden dasselbe Ergebnis erhalten. Die Eichfreiheit kann ähnlich interpretiert werden. 

Die chirale Symmetrie ist eine weitere, in der Teilchenphysik wichtige Symmetrie. Wir werden in einem späteren Artikel genauer auf sie eingehen.

Die Verwendung von Symmetrien beim Aufstellen von Theorien ist heutzutage ein wichtiges Werkzeug, besonders in der Teilchenphysik. Unser gesamtes Standardmodell der Teilchenphysik basiert auf Symmetrien, welche der oben erwähnten Eichsymmetrie ähneln.

Während zu Beginn beobachtete Symmetrien zur Formulierung von Theorien geführt haben, welche diese Symmetrien korrekt wiedergeben, passiert heutzutage häufig das Umgekehrte: Um mögliche Erweiterungen des Standardmodells zu finden, überlegt man sich, welche weiteren Symmetrien es geben könnte, und formuliert eine passende Theorie, die dann experimentell überprüft werden kann. Ein typisches Beispiel ist die Supersymmetrie, welche zusätzliche Symmetrien zwischen verschiedenen bekannten und noch unbekannten Elementarteilchen annimmt. Viele hatten gehofft, Anzeichen einer solchen Symmetrie am Teilchenbeschleuniger LHC zu finden, da dies die maximal mögliche Symmetrie einer Theorie ist. Doch bis heute gibt es keinen Hinweis, dass Supersymmetrie tatsächlich in der Natur vorkommt.

Symmetrien und Erhaltungsgrößen als nützliches Werkzeug

Wir wollen nun ein Beispiel betrachten, wie mittels einer Erhaltungsgröße ein neues Teilchen vorhergesagt worden ist. Im Jahre 1930 wurde bei Untersuchungen des Betazerfalls folgende Beobachtung gemacht:

Ein Nukleon \(A\) (heute wissen wir, dass es sich dabei um ein Neutron handelte) zerfällt in ein leichteres Kernteilchen \(B\) (ein Proton) und sendet dabei ein Elektron \(C\) aus. Da es sich um einen Zerfall mit der Struktur \(A\rightarrow B+C\) handelt, müssen die Teilchen \(B\) und \(C\) mit demselben, aber entgegengesetzten Impuls auseinander fliegen, sofern das Teilchen \(A\) in Ruhe ist. Das schreibt uns die Impulserhaltung so vor. Zudem kann die maximale kinetische Energie des Elektrons aus der Energieerhaltung genau bestimmt werden, sofern wir die Massen und kinetischen Energien der anderen Teilchen kennen.

Als man aber mehrere Experimente zum Betazerfall machte, stellte man fest, dass das Proton und das Elektron so gut wie nie auf diese Weise auseinander flogen. Zudem konnte man auch mit der Energieerhaltung keine vernünftigen Voraussagen treffen. Niels Bohr (Nobelpreis 1922) war schon dazu bereit, die Energieerhaltung anzuzweifeln. Wolfgang Pauli gelang jedoch eine Erklärung, welche zunächst wie eine einfache Ausrede aussah, sich aber als die richtige Antwort herausstellte.

Er vermutete, dass es ein weiteres Teilchen bei diesem Zerfall geben muss, welches elektrisch neutral sein musste und gar nicht (beziehungsweise nur sehr schwach) mit Materie wechselwirkt. So konnte er erklären, wieso das Teilchen in den Blasenkammern keine Spur hinterließ. Zudem musste ja auch die Ladungserhaltung gelten. Das Teilchen, welches Neutrino getauft wurde, musste auch sehr leicht sein. Mit diesem neuen Puzzleteil konnten im Lauf der Geschichte viele andere Zerfälle erklärt werden. Es sollte aber bis zum Jahr 1956 dauern, ehe das Neutrino im Experiment nachgewiesen werden konnte.  

Das Kombinieren der Erhaltungssätze, die wir aus Symmetrieüberlegungen erhalten haben, wird eine Art Detektivspiel, bei welchem es darum geht, die Teilchen zu identifizieren, welche bei einem Zerfall entstehen. Neben Energie und Impuls gibt es noch weitere Erhaltungsgrößen, die dabei eine Rolle spielen können: Drehimpuls, Baryonzahl, Ladung etc.

Frauen wurden in der Wissenschaft bis vor wenigen Jahrzehnten kaum wahrgenommen. Als bekanntestes Beispiel gilt Emmy Noether (1882-1935), welcher zunächst sogar die Habilitation verwehrt wurde, da sich die Mehrheit der Fakultätsangehörigen gegen die Habilitation von Frauen stellte. Aber auch heute noch ist dieses Problem, dass es weit weniger Frauen in der Mathematik und Physik gibt, sehr präsent. Bereits in der Grundschule behaupten mehr Mädchen als Burschen von sich, dass sie schlecht im Rechnen sind. Es scheint also schon als ein erzieherisches und pädagogisches Problem zu beginnen. Weiterführendes zu diesem Thema.

Zum Abschluss dieses Moduls über Symmetrien noch ein Rätsel:

Wenn man vor einem Spiegel steht und die rechte Hand hebt, hebt das Spiegelbild die linke Hand. Hebt man selber die linke Hand, hebt das Spiegelbild seine rechte Hand. Rechts und Links sind also offensichtlich vertauscht. Wieso aber ist Oben und Unten nicht vertauscht?

Die Lösung gibts hier:


oder hier:

 

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