• Was ist Chiralität in der Teilchenphysik?
  • Warum ist die chirale Symmetrie für die Starke Wechselwirkung wichtig?
  • Was können wir aus der Brechung der chiralen Symmetrie lernen?

Titelbild: Spin, Alexander Gorfer (quant.uni-graz.at), CC-BY-SA 4.0

Chiralität und Helizität

Zunächst erklären wir anhand eines Elektrons den verwandten Begriff der Helizität, bevor wir zur Chiralität kommen.

Elektronen besitzen eine Eigenschaft, die Spin heißt. Der Spin ist ein intrinsischer Drehimpuls. Das kann man sich wie einen inneren Drehimpuls vorstellen. Da Elektronen aber (soweit wir wissen) punktförmig sind, drehen sie sich nicht wirklich. Das heißt die Elektronen verhalten sich so, als ob sie rotieren würden, sie rotieren aber nicht! Der Spin ist daher keine klassische Eigenschaft sondern eine quantenmechanische. Eine direkte Anwendung des Spins (von Atomen) ist die Kernspintomographie, ein bildgebendes Verfahren in der Medizin.

Da es sich beim Spin um einen Drehimpuls handelt, hat er eine Richtung und wird durch einen Vektor beschrieben. Der Drehimpulsvektor liegt immer auf der Drehachse eines rotierenden Gegenstandes und genau so hat auch der Spin eine fixe Richtung. Der Spin kann im Falle des Elektrons in Relation zur Bewegungsrichtung des Teilchens angegeben werden. Wir sprechen dabei von der Helizität des Teilchens. Dabei unterscheiden wir zwei Fälle:

Eine rechte Helizität entspricht der Drehung im Uhrzeigersinn in Richtung der Fortbewegungsrichtung, also längs der Achse einer Schraube mit einem Rechtsgewinde. Eine Rechtsgewinde ist das gewöhnliche Gewinde, welches wir beispielsweise bei Schraubverschlüssen, gewöhnlichen Holzschrauben etc. finden. Wenn wir beispielsweise die Holzschraube im Uhrzeigersinn drehen, dann dreht sich die Schraube in das Holz hinein, sie hat somit eine rechte Helizität

Eine linke Helizität entspricht dagegen einem Linksgewinde, wie wir es beispielsweise beim linken Pedal eines Fahrrades finden. Diese Gewindeart findet man seltener. Würde man eine linkshändige Schraube im Uhrzeigersinn drehen, würde sie sich aus dem Material herausdrehen! An Stelle von linker und rechter Helizität können wir auch von Linkshändigkeit und Rechtshändigkeit sprechen.

In der folgenden Darstellung symbolisiert der schwarze Pfeil jeweils die Fortbewegungsrichtung des Teilchens, die blauen (für linkshändige Teilchen) und roten (für rechtshändige Teilchen) Pfeile symbolisieren den Spin des Teilchens. Wie bereits erwähnt, rotiert das Teilchen nicht wirklich, aber der Spin kann so symbolisch dargestellt werden.

Um die Helizitäten zu kontrollieren, können wir uns vorstellen, dass wir beispielsweise das Elektron ganz rechts mit der Hand packen und so drehen wie der rote Pfeil eingezeichnet ist. Der schwarze Pfeil zeigt genau in die Richtung, in die sich ein gewöhnlicher Schraubverschluss drehen würde, somit handelt es sich hier wirklich um ein rechtshändiges Elektron.

HelizitaetLinkshändige Elektronen (blau) und rechtshändiges Elektron (rot). Helizitaet, Alexander Gorfer (quant.uni-graz.at), CC-BY-SA 4.0

Die Bewegungsrichtung eines Teilchens ist aber stets relativ. Greifen wir dazu nochmals das Zugbeispiel aus dem zweiten Artikel auf:

Wenn wir wieder in unserem Zug am Bahnhof sitzen und neben uns fährt ein anderer Zug vorbei, ist es nicht klar, ob wir selber gerade stillstehen und vom Zug überholt werden oder ob sich unser Zug gerade rückwärts bewegen und der andere Zug still steht. Es könnte sogar sein, dass beide Züge sich nach vorne bewegen, der andere Zug jedoch etwas schneller ist als unserer. Das heißt wenn wir uns mit konstanter Geschwindigkeit irgendwo bewegen, können wir immer (auch in unseren Rechnungen) annehmen, dass wir selber still stehen und sich alles um uns herum bewegt. Deshalb sieht es für uns auch so aus als ob sich die Sonne um die Erde bewegt anstatt umgekehrt. Den Ort, den wir als ruhend annehmen, nennen wir in der Physik unser Bezugssystem, da wir unsere Angaben immer darauf beziehen. 

Aber was hat das für Konsequenzen für die vorhin besprochene Helizität? Wir können zum Beispiel das rechtshändige Elektron (mit dem roten Pfeil) mit einer höheren Geschwindigkeit als das Elektron selbst von rechts nach links überholen und uns selber als Bezugssystem festlegen. Für uns sieht das dann so aus, als ob wir selber ruhen und sich das Elektron plötzlich nicht mehr nach links sondern nach rechts bewegt, obwohl es sich immer noch gleich dreht - es wird uns plötzlich wie das mittlere Elektron erscheinen. Die Helizität hat sich also geändert. Auch wenn wir ein rechtshändiges Elektron im Spiegel betrachten, so wird daraus ein linkshändiges Elektron. 

Ist das mit der Helizität von Teilchen somit eine völlig sinnlose Klassifizierung, da wir ja in jedes beliebige Bezugssystem springen können? Die Antwort ist nein, denn wir können ja nicht beliebige Geschwindigkeiten erreichen und somit Teilchen, welche sich (nahezu) mit Lichtgeschwindigkeit bewegen, nicht überholen.

Neutrinos sind solche Teilchen. Sie haben so gut wie keine Masse und bewegen sich deshalb fast mit Lichtgeschwindigkeit. Genau wie die Elektronen haben sie auch einen Spin. Deshalb können wir auch hier von rechtshändigen und linkshändigen Neutrinos sprechen. Bei ihnen können wir die Helizität jedoch nicht durch Überholen ändern, da sie sich im Prinzip nicht überholen lassen. Deshalb ist diese Klassifizierung hier sinnvoll. Wir verwenden dann den Begriff Chiralität.

Fassen wir nochmals zusammen:

Helizität hängt vom Bezugssystem ab, von welchem aus wir ein Teilchen betrachten. Sie ist keine fundamentale Größe wie beispielsweise die elektrische Ladung, welche unabhängig vom Bezugssystem ist.

Chiralität hingegen ist ebenso wie der Spin eine intrinsische Größe, welche unabhängig vom Bezugssystem ist. Das heißt für uns, dass masselose Teilchen dieselbe Chiralität wie Helizität haben. Bei Teilchen mit Masse können Chiralität und Helizität hingegen unterschiedlich sein, weil wir das Bezugssystem jederzeit ändern können. Bei Neutrinos ist die Masse jedoch so klein, dass man ebenfalls von Chiralität spricht.

Jede Teilchenart gibt es in chiral rechts- und linkshändigen Varianten oder nur in linkshändigen. In letzterem Fall ist noch nicht endgültig geklärt, ob es nicht doch noch auch rechtshändige Varianten gibt. Die Existenz von rechts- und linkshändigen Varianten von Teilchen stellt eine Symmetrie dar.

Chirale Symmetrie in der Starken Wechselwirkung                        

In der Teilchenphysik ist Chiralität in mehrfacher Hinsicht bedeutend. Hier betrachten wir die Rolle von Chiralität für die Starke Wechselwirkung.

Dazu skizzieren wir zuerst kurz den Aufbau der uns umgebenden Materie. Atome bestehen aus einem Kern und Elektronen. Der Großteil der Masse ist dabei im Kern konzentriert. Dieser besteht aus Protonen und Neutronen, welche aus noch kleineren Bausteinen bestehen - den Quarks. Es gibt zwar verschiedene Quarks, aber hier sind nur die beiden leichtesten von Bedeutung, die Up- und die Down-Quarks. Ein interessantes Faktum ist, dass diese beiden Typen von Quarks, von denen man drei benötigt, um ein Proton oder ein Neutron zu bilden, sehr leicht sind. Schlägt man ihre Masse zum Beispiel auf Wikipedia nach, findet man Angaben von wenigen $MeV$. Ein Proton hat hingegen eine Masse von $938\,MeV$. Warum aus drei leichten Quarks ein schweres Proton wird, hängt mit der Chiralität der Quarks zusammen und wird im Folgenden erklärt. Dabei beschränken wir uns aufgrund der mathematischen Komplexität auf qualitative Aussagen.

Mehr zu Quarks gibt es im Artikel zur Quantenchromodynamik.

Zuerst vereinfachen wir unsere Betrachtungen, indem wir annehmen, dass Quarks masselos sind. Das können wir in theoretischen Betrachtungen problemlos machen. Oft sind derartige Vereinfachungen hilfreich, um zugrunde liegende Mechanismen besser zu verstehen. Am Ende untersucht man dann, welche Änderungen es gibt, wenn Quarks doch eine Masse besitzen.

Quarks haben wie Elektronen eine Chiralität. Es gibt links- und rechtshändige. In der mathematischen Beschreibung der Starken Wechselwirkung kann man rechts- und linkshändige Quarks vertauschen (wenn sie masselos sind; deshalb diese Vereinfachung). Das kann man sich so vorstellen, dass man jederzeit zwischen rechts- und linkshändigen Quarks wechseln kann und es ändert sich nichts. Wir können etwa alles mit linkshändigen Quarks rechnen, oder mit den rechtshändigen. Wir erhalten dasselbe Ergebnis.

Dies stellt eine Symmetrie unseres Systems dar. Konkret nennt man sie chirale Symmetrie. Wir erinnern uns, dass es Systeme gibt, welche eine gewisse Symmetrie aufweisen, die aber unter gewissen Umständen nicht realisiert ist. Der Grund liegt darin, dass es einen Zustand niedrigster Energie gibt, der diese Symmetrie bricht. Genau das passiert hier: Die chirale Symmetrie ist spontan gebrochen.

Um das besser zu verstehen, können wir zum Vergleich nochmals den Ferromagneten im vorigen Artikel betrachten: Wenn alle Elementarmagneten beliebig angeordnet sind, das System also symmetrisch ist, dann gibt es kein äußeres Magnetfeld. Genau so ist es mit der chiralen Symmetrie. Wenn wir annehmen, dass sie vorhanden ist, dann haben wir ein symmetrisches System und somit gibt es keine Massenerzeugung! Erst der Symmetriebruch führt zur Massenerzeugung.

Ändert man die äußeren Bedingungen der Quarks, zum Beispiel indem man die Temperatur erhöht, kann man die Symmetrie aber auch wieder herstellen. (Vergleiche dazu die Curie-Temperatur beim Ferromagneten!) Es gibt dann gar keinen asymmetrischen Fall mehr. Im Falle der Starke Wechselwirkung wäre diese Temperatur $10^{12}\,K$. So heiß ist es zwar nicht einmal im Inneren der Sonne, allerdings können solche Temperaturen in Teilchenbeschleunigern erzeugt werden.

Eine direkte Konsequenz der chiralen Symmetriebrechung ist somit die große Masse des Protons. Selbst wenn Quarks masselos wären, hätte das Proton noch beinahe eine Masse von ca. $938\,MeV$. Wenn wir so tun, als wären nur die drei Quarks für die Masse des Protons verantwortlich, dann sprechen wir von Konstituenten-Quarks mit einer Konstituenten-Quark-Masse. Diese liegt ungefähr bei einem Drittel der Proton-Masse und unterscheidet sich damit erheblich von der eigentlichen Quark-Masse, welche gemäß unserer Vereinfachung ja null ist. Die Massendifferenz kommt alleine durch die Brechung der chiralen Symmetrie zustande.

Die chirale Symmetriebrechung ist für einen Großteil der Massen von Protonen und Neutronen verantwortlich. Die Quarkmassen selber tragen nur einen Bruchteil bei.

Eine weitere Konsequenz der chiralen Symmetriebrechung betrifft auch die Masse von anderen Teilchen, den Pionen. Diese ist nämlich ebenfalls null, wie man mathematisch exakt zeigen kann. Dabei hätte man doch erwartet, dass die zwei Konstituenten-Quarks, aus denen das Pion besteht, zu einer Masse von ca. $2/3$ der Proton-Masse führen, also ungefähr $600\,MeV$.

Nun sind Quarks aber nicht masselos sondern haben eine Masse von wenigen $MeV$. Das führt dazu, dass man nicht beliebig zwischen links- und rechtshändigen Quarks vertauschen kann. Man sagt auch, die chirale Symmetrie ist explizit gebrochen. Jedoch stellt sich heraus, dass die Masse der Quarks so klein ist, dass die Abweichungen von dem oben beschriebenen Szenario masseloser Quarks nur sehr klein ist. Auf das Proton hat die Quark-Masse beinahe keine Auswirkungen. Das Pion hingegen ist nicht masselos sondern hat eine Masse von ca. $140\,MeV$. Das ist immer noch erheblich weniger als die $600\,MeV$, die man von den zwei Konstituenten-Quarks erwartet hätte.

Die Unterschiede zwischen einem masselosen und einem sehr leichten Quark kann man in folgender Abbildung sehen. Gezeigt ist die Quark-Massenfunktion, wie sie in aktuellen Berechnungen aussieht. Sie wird hier etwas genauer diskutiert. Ganz rechts sieht man die Ausgangsmasse, also null oder $3.7\,MeV$. Die Werte ganz links entsprechen ungefähr den Konstituenten-Quark-Massen. Der Anstieg von rechts nach links kommt durch die chirale Symmetriebrechung zustande. Wie man sieht, gibt es fast keinen Unterschied zwischen den beiden Kurven. Daraus schließen wir, dass ausreichend leichte Quarks sich so ähnlich verhalten wie masselose Quarks.
masses 0 udQuark-Massenfunktion für masselose und sehr leichte Quarks. Quarkmassen-Funktionen für leichte und masselose Quarks, Markus Huber (quant.uni-graz.at), CC-BY-SA 4.0

Wir sehen also, dass die chirale Symmetrie, obwohl sie wegen der Masse der Quarks nicht exakt realisiert ist, direkte Konsequenzen hat. Woher die Quark-Masse selber kommt, also die paar $MeV$, wird im nächsten Artikel erklärt.

Beim Verständnis des Drehimpulses als vektorielle Größe kann dieses Video hilfreich sein.

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