• Was ist der Grundzustand eines Systems?
  • Was ist eine Symmetriebrechung, was eine spontane Symmetriebrechung?

Wir haben uns bereits mit Symmetrien beschäftigt und dabei festgestellt, wie nützlich sie in der Beschreibung der Natur sein können. Was aber passiert, wenn eine Symmetrie gebrochen, also zerstört, wird? Das hat mitunter interessante Konsequenzen...

Symmetriebrechung

Ein Verlust der Symmetrie, eine sogenannte Symmetriebrechung, kann verschiedene Ursachen haben. Sie kann etwa durch eine äußere Einwirkung zerstört werden. Zum Beispiel verliert ein Ball, der gequetscht wird, seine vollständige Rotationssymmetrie, da er ja nicht mehr gleich aussieht, wenn man ihn dreht.

Interessanter wird die Sache jedoch, wenn Symmetriebrechungen spontan auftreten, das heißt ohne äußeren Einfluss. In diesem Fall weist ein System zwar eine Symmetrie auf, im Grundzustand ist sie jedoch nicht erkennbar. Der Begriff System kann sich hier auf vieles beziehen, zum Beispiel einen Magneten, einen Stab oder auch auf Elementarteilchen.

Unter dem Grundzustand verstehen wir den Zustand mit der geringsten Energie. Beispielsweise ist der Grundzustand eines Pendels jener, bei welchem die Masse an der Schnur in Ruhe am unteren Punkt verharrt. Wir haben hier weder kinetische noch potentielle Energie - das System Pendel strebt also diesen Zustand an, da es jenem niedrigster Energie entspricht. Wir können das Pendel in angeregte Zustände bringen, also Zustände mit höherer Energie als der Grundzustand, in dem wir es anstoßen (also Energie zuführen) und zum Schwingen bringen. 

Vom Grundzustand eines Systems sprechen wir, wenn wir den Zustand niedrigster Energie meinen.

Hier ein Beispiel, das veranschaulicht, wie es in einem symmetrischen System dazu kommen kann, dass der Zustand niedrigster Energie die Symmetrie bricht:

Vier Städte befinden sich genau an den vier Eckpunkten eines Quadrates. Diese Anordnung ist symmetrisch bezüglich Rotationen um 90°. Die Bürgermeister beschließen, die Städte über ein Straßennetz so zu verbinden, dass jede Stadt miteinander verbunden ist. Dabei soll die Weglänge so kurz wie möglich sein:                      

AusgangssituationAusgangssituation. Ausgangssituation, Alexander Gorfer (quant.uni-graz.at), CC-BY-SA 4.0

Die einfachste Lösung ist jene, bei welcher die Städte entlang der Kanten des Quadrates verbunden werden. In diesem Fall beträgt die gesamte Weglänge \(4a\):

Erster VorschlagErster Vorschlag. Erster_VorschlagAlexander Gorfer (quant.uni-graz.at), CC-BY-SA 4.0

Diese erste Lösung ist invariant unter Drehungen um 90°. Sie ist also symmetrisch.

Man spart sich jedoch Weglänge um den Faktor \(\sqrt{2}\), wenn die Städte über die Diagonalen verbunden werden. Die Gesamtweglänge beträgt nun \(2\sqrt{2}a\):

Besserer VorschlagBesserer Vorschlag. Besserer_Vorschlag, Alexander Gorfer (quant.uni-graz.at), CC-BY-SA 4.0

Auch hier haben wir wieder dieselbe Symmetrie gefunden wie bei dem ersten Vorschlag. Drehen wir das Straßennetz um 90° oder ein vielfaches von 90°, so haben wir immer dasselbe Straßennetz. 

Die beste Lösung ist jedoch eine andere. Sie ist nicht eindeutig, da zwei Varianten existieren, welche beide korrekt sind. Beide stellen aber den Zustand niedrigster Energie (geringster Weglänge) dar. Jedoch ist im Gegensatz zu den anderen Lösungen die Symmetrie hier gebrochen, da wir bei Drehungen um 90° eine Veränderte Struktur des Straßennetzes feststellen. Beide Varianten weisen eine Weglänge von \((1+\sqrt 3)a\) auf. 

LoesungLösung. Loesung, Alexander Gorfer (quant.uni-graz.at), CC-BY-SA 4.0

Die Tatsache, dass es mehr als eine Lösung gibt, ist typisch für Symmetriebrechung. Man findet das zum Beispiel auch beim Phänomen der Magnetisierung.

Symmetriebruch beim Ferromagnet

Betrachten wir einen Ferromagneten. Jeder handelsübliche Magnet ist ein typischer Ferromagnet, welcher von sich aus magnetisch ist. Ferromagnete weisen eine dauerhafte Magnetisierung auf. Diese kommt daher, dass sich die Elementarmagnete der Atome im Material alle gleich ausrichten und deren einzelne, extrem schwache Magnetfelder sich zum Gesamtmagnetfeld addieren. Erhöht man die Temperatur, verschwindet diese Gleichrichtung und damit die Magnetisierung, da sich die Magnetisierungen der einzelnen Elementarmagnete gegenseitig aufheben. Die Temperatur, bei welcher das passiert, nennt man Curie-Temperatur.

Mehr über die Curie-Temperatur erfahrt ihr in diesem Video:

Unterhalb der Curie-Temperatur ist ein Ferromagnet magnetisch, oberhalb ist er es nicht mehr. Kühlt man einen Ferromagneten von hoher Temperatur wieder unter die Curie-Temperatur ab, kann man nicht vorhersagen, in welche Richtung sich das Magnetfeld ausbilden wird. Das ist völlig zufällig.

Die beiden Zustände mit und ohne Magnetisierung unterscheiden sich in ihrer Symmetrie: Ist keine Magnetisierung vorhanden, ist der Zustand symmetrisch, denn keine Richtung ist irgendwie besonders. Alle Elementarmagneten zeigen in irgend eine willkürliche Richtung. Im magnetisierten Zustand ist jedoch die Richtung, in welcher das Magnetfeld liegt, ausgezeichnet, das heißt die Symmetrie ist gebrochen. 

Verhalten der Elementarmagneten eines Ferromagneten bei Temperaturerhöhung. $T_C$ bezeichnet die Curie-Temperatur. Curie-Temperatur, Alexander Gorfer (quant.uni-graz.at), CC-BY-SA 4.0

Auch bei anderen Vorgängen in der Natur können wir Symmetriebrechungen beobachten. Wenn wir beispielsweise einen Eiskristall, welcher eine Kristallstruktur aufweist, durch Energiezufuhr zum Schmelzen bringen, so gewinnt das entstandene Wasser an Symmetrie, da sich die Wassermoleküle völlig willkürlich anordnen. Beim erneuten Gefrieren bildet sich wieder ein Eiskristall - wieder ist die Orientierung des Kristalls willkürlich und wir haben einen Symmetriebruch.

Symmetriebrüche verraten uns also indirekt etwas über den Zustand des Systems. Befindet es sich im Grundzustand oder in einem angeregten Zustand? Von welchen äußeren Umständen, zum Beispiel der Temperatur, hängt es ab, ob die Symmetrie gebrochen ist oder nicht?

Dass der kürzeste Weg zwischen den Städten einem Ausschnitt aus einer sechseckigen Strucktur gleicht, lässt sich auch in der Natur wiederfinden: bei Graphen und Bienenwaben.

 

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