• Was sind Vektorfelder?
  • Wozu brauchen wir Felder für die Maxwellgleichungen?
  • Was ist die zeitliche Ableitung?

 

Eine Wiederholung aus der Mathematik

Die vier Maxwell Gleichungen beschreiben das elektrische und magnetische Feld. Bei diesen Feldern handelt es sich um so genannte Vektorfelder. Was aber ist ein Vektorfeld?

Ein Vektorfeld besteht, welch Überraschung, aus Vektoren.

 

 Wir betrachten hier also einen Vektor Vektor a :      Dieser Vektor hat (wie jeder Vektor) eine Richtung und einen Wert:
 ein Vektor im Koordinatensystem  ein Vektor



Nehmen wir noch einen zweiten Vektor Vektor b dazu, können wir die beiden Vektoren z.B. addieren:
Vektoraddition

 

... und, man mag es kaum glauben, auch subtrahieren:
Vektorsubtraktion

 

 

Einen Vektor kann man in seine Komponenten aufteilen. In 2D beispielsweise entlang der x und y-Achse.

 Ein Vektor Vektor a und seine Komponenten in 2D:    Der Vektor 3D Vektor und seine Komponenten in 3D:
 VektorKomponenten2D

 3D Vektor

 

Berechne die Längen der Seiten des Dreiecks ABC:
a) $\vec{A}= \left( \begin{array}{c}-1\\-1\end{array} \right), \vec{B}= \left( \begin{array}{c}-5\\2\end{array} \right),\vec{C}= \left( \begin{array}{c}7\\7\end{array} \right)$
b) $\vec{A}= \left( \begin{array}{c}1\\4\end{array} \right), \vec{B}= \left( \begin{array}{c}6\\0\end{array} \right),\vec{C}= \left( \begin{array}{c}-1\\2\end{array} \right)$

Vereinfacht gesagt: Die Maxwellgleichungen geben uns Auskunft, wie sich elektromagnetische Felder (eben Vektoren) im Laufe der Zeit verändern.

Betrachtet man den Wert eines Vektors zum aktuellen Zeitpunkt und kurz darauf wieder, wäre die zeitliche Änderung etwas vereinfacht nur die Differenz der zwei Werte. Wir sprechen hierbei von einer Ableitung.

 

1   2   3   4
 zeitliche Aenderung 1    zeitliche Aenderung 2   zeitliche Aenderung 3     zeitliche Aenderung 4
 Wir betrachten einen Vektor Vektor a.
Dieser hat einen bestimmten
Wert, hier als "jetzt" bezeichnet.
  Nach kurzer Zeit hat dieser einen
anderen Wert. Hier als "gleich"
bezeichnet.
  Die Änderung ist die Differenz 
zwischen den Werten "jetzt"
und "gleich".
  Die zeitliche Änderung nennt 
man "Ableitung". 

 

Jetzt betrachten wir ein Vektorfeld: An jedem Punkt des Raumes gibt es einen Vektor. Also unendlich viele Vektoren, hier ein Ausschnitt:

      Vektorfeld2D                Vektorfeld3D

                        Ein Vektorfeld in 2 Dimensionen                                                             Ein Vektorfeld in 3 Dimensionen

 

Das elektrische Feld ist, genau wie das magnetische Feld auch, ein sogeanntes Vektorfeld. Das elektromagnetische Feld kann man sich so vorstellen, dass an jedem Punkt im Raum zwei Vektoren auftreten, einen für das elektrische Feld (E) und einen für das magnetische Feld (B). Die beiden sind jedoch nicht unabhängig, sondern stehen im rechten Winkel zueinander.

elektromagnetische Welle

Elektromagnetische Welle

Zu einem elektrischen Feld gehört zu jedem Punkt im Raum eine Stärke, die so genannte Feldstärke. Diese gibt an, wie stark das Feld ist und hat eine Richtung in die das elektrische Feld zeigt. Um das Feld zu messen, nimmt man eine Probeladung und hält sie in das Feld an jenen Punkt, an dem man den Wert des Feldes messen will. Das Feld übt dann eine Kraft CodeCogsEqn 5 auf die Probeladung aus. Die Kraft CodeCogsEqn 5 ist selbst auch ein Vektor, denn sie hat eine Stärke (Wert) und auch eine Richtung in die sie wirkt.

Man kann das elektrische Feld vermessen, indem man die Probeladung an verschiedenen Stellen im Raum positioniert und überall die Kraft misst und daraus die Feldstärke und die Richtung berechnet.

Das Magnetfeld misst man ähnlich, allerdings muss die Probeladung hier mit einer konstanten Geschwindigkeit bewegt werden.

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