Maxwell'sche Gleichungen

• Was ist die räumliche Änderung?
• Erläuterung der Begriffe: Divergenz, Rotation und Nabla-Operator

Ein neuer Rechenoperator!

Maxwell nahm als Ausgangspunkt vier physikalische Grundgrößen: die Ladungen, den Strom, das elektrische und magnetische Feld. Diese Größen hängen vom Ort und von der Zeit ab. Maxwell stellte mit seinen Gleichungen Beziehungen zwischen diesen Größen her. Ursprünglich schrieb er 21 Gleichungen nieder. Dank heutiger Schreibweisen und der Verwendung von mathematischen Operatoren die Maxwell noch nicht kannte, erhalten wir die vier bekannten Differentialgleichungen: 

http://pumping-physics.de/2016/06/15/maxwell-gleichungen-150-jahre-licht/

Maxwell's Differentialgleichungen spiegeln den Zusammenhang zwischen zeitlichen und räumlichen Änderungen von Feldern (elektomagnetischer Felder) wieder. Die zeitliche Änderung (zeitliche Ableitung) haben wir im letzten Abschnitt kurz besprochen.

Für die räumliche Änderung eines Feldes (Ableitung nach dem Ort) gibt es mehrere Möglichkeiten. Eine ist die sogenannte Divergenz:

Hier wird die Ableitung des Feldes in die drei verschiedenen Raumrichtungen gebildet, also die Änderung entlang der x-, y- und z-Achse berechnet. Die Divergenz erzeugt aus dem Vektor eine Zahl, ein Skalar(-feld). Die anschauliche Bedeutung der Divergenz sehen wir im nächsten Kapitel. Die Divergenz eines Vektorfeldes kann man als ein Maß für die Existenz von Quellen oder Senken in dem Feld verstehen, also ob z.B. eine elektrische Ladung vorhanden ist, die das zugehörige Feld erzeugt. Ist die Divergenz eines Vektorfeldes (zB.: ) gleich 0, dann heißt das Vektorfeld quellenfrei.

Eine weitere Möglichkeit die räumliche Änderung eines Feldes zu beschreiben, ist durch die sogenannte Rotation gegeben:

Das schaut etwas komplizierter aus, die Rotation erzeugt aus einem Vektor wieder einen Vektor.

Die Rotation eines Vektorfeldes gibt uns Auskunft über Drehbewegungen bzw. über "Wirbel" des Vektorfeldes. Die Rotation gibt somit an, wie stark sich das Vektorfeld in eine bestimmte Richtung ändert.

In den oben angeführten Formeln siehst du auch den sogenannten Nabla-Operator (). Sieht man sich die Divergenz und die Rotation an, so fällt auf, dass diese eine gewisse Ähnlichkeit haben. Zur vereinfachten Schreibweise hat man deshalb den Nabla-Operator eingeführt:

Das Skalarprodukt (Multiplikation) zwischen Nabla und einem Vektorfeld ist die Divergenz:

Das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) aus diesem Operator und dem Feld bezeichnen wir als Rotation des Feldes.

Der Unterschied zwischen Kreuz- und Skalarprodukt:

Beispiel: Gegeben sei das Vektorfeld . Berechne die Rotation! Was sagt das Ergebnis aus?

Fassen wir kurz zusammen:

Den Operator ("Rechenvorschrift")  nennt man Nabla-Operator.

Mit Hilfe dieses Nabla-Operators können wir die "Divergenz" und den "Rotor" eines Vektorfeldes bilden.

Die Divergenz eines Vektros ("Nabla mal Vektor")

ergibt als Ergebnis eine Zahl (Skalar). Diese gibt in jedem Punkt des Raumes die Quelldichte des Vektors an.

Die Rotation (den Rotor) eines Vektors bildet man mit dem Kreuzprodukt:

Das Ergebnis eines Kreuzproduktes ist wieder ein Vektor.

Der Quotient  ist die sogenannte partielle Ableitung der Funktion D nach der Zeit. Mit partieller Ableitung ist gemeint: Wenn eine Funktion von zwei oder mehreren Variablen abhängt, wird nur nach einer Variable (in diesem Fall der Zeit) abgeleitet.