• Der letzte Schritt vor den Maxwellgleichungen!
  • Lorentzkraft, magnetische Flussdichte
  • Wie kann man Ladungen und Ströme beschreiben?
  • Raumladungsdichte und Stromladungsdichte

 

Ladungen im Raum

Wir haben im vorherigen Kapitel die "Rechenvorschriften" im Zusammenhang mit Vektoren kennen gelernt. Bevor wir nun endlich zu einer genaueren Erklärung der Maxwell'schen Gleichungen kommen, betrachten wir aber noch:

Wie wirken das elektrische und das magnetische Feld auf eine Probeladung?

Wir betrachten eine positive und eine negative Ladung irgendwo im Raum. Nun wollen wir wissen, wie sich das elektrische Feld, das von diesen beiden Ladungen erzeugt wird, auch eine Probeladung q auswirkt.

 

 

ProbeladungimElektrischenFEld

Probeladung im elektrischen Feld

 

Wir nehmen an, dass die Probeladung q positiv geladen ist - also wird sie einerseits von der negativen Ladung angezogen und von der positiven abgestoßen werden. Es wirkt somit eine Kraft Kraft F.

 

ProbeladungimElektrischenFEld Kraft

Kraft auf Probeladung

 

F=qE  Diese Kraft ist hängt ab von der Ladung q und Vektor E.

 

Vektor E ist das elektrische Feld, das von den beiden anderen Ladungen erzeugt wird. Nachdem dieses Feld im ganzen Raum verteilt ist, handelt es sich wie schon erwähnt um ein Vektorfeld. Man kann die Probeladung also irgendwo im Raum hinlegen, überall wird man eine Auswirkung des Feldes spüren (je weiter weg von den beiden Quellen umso schwächer natürlich).

Um herauszufinden, welche Einheit das elektrische Feld CodeCogsEqn 55 hat, gehen wir den umgekehrten Weg und setzen für die bekannten Größen die Einheiten ein: Die Kraft Kraft F hat als Einheit Newton (N), die Ladung q hat Einheit Coulomb (C). Wenn wir die Formel nun nach CodeCogsEqn 55umformen und die bekannten Einheiten einsetzen, können wir schreiben: Einheiten E, weiters können wir C (Coulomb) in As (Amperesekunde) umschreiben: E = N/As . Wir können noch weiter umformen: Ampere (A) mal Volt (V), also AV, ist gleich Watt (W). Für N/As können wir also schreiben: NV/Ws. Um die Sache etwas zu vereinfachen führen wir nun Joule (J) ein: 1 J entspricht einem Newtonmeter (Nm), aber auch einer Wattsekunde (Ws), deshalb schreiben wir N im Zähler um und anstatt Ws im Nenner, schreiben wir J. Damit erhalten dann: E = V/m . Somit haben wir nun endlich die Einheit des elektrischen Feldes: Volt pro Meter, also der Potentialunterschied der Ladungen pro Meter (Abstand).

Hier findest Du als Ergänzung zu dem Thema auch einen guten Beitrag von Studyflix zum elektrischen Feld und der elektrischen Feldstärke.

 

Wir haben uns jetzt die "elektrische Kraft" angesehen. Wie wir schon wissen gibt es aber natürlich auch noch ein Magnetfeld!

Nehmen wir einen klassischen Magneten mit Nord- und Südpol (links) und denken uns das dazugehörige Magnetfeld (rechts):

 

  Ladung Im Magnetfeld                

Ladung im Magnetfeld

 Von Geek3 - Eigenes Werk, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=10587119Von Geek3 - Eigenes Werk, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=10587119
                                         

Auch hier kannst Du Dir wieder ein Video zum Thema auf Studyflix anschauen: Das magnetische Feld.

Betrachten wir wieder unsere Probeladung q im Magnetfeld, die sich diesmal jedoch mit einer Geschwindigkeit $\vec{v}$ bewegt. Aus Experimenten wissen wir, dass auf diese Ladung im Magnetfeld wieder eine Kraft Kraft F wirkt, die sogenannte Lorentzkraft

Die Lorentzkraft ist die Kraft, die ein magnetisches Feld auf eine bewegte Ladung ausübt. Sie ist nach dem niederländischen Mathematiker und Physiker Hendrik Antoon Lorentz benannt. [mehr dazu]

Die Formel für die Lorentzkraft: 

$\vec{F} = q \vec{v} \times \vec{B}$

 

B ist wieder ein Feld, in diesem Fall das Magnetfeld. Welche Einheit hat B?

Die Einheit der Geschwindigkeit v ist bekanntlich Meter pro Sekunde (m/s). Die Ladung q hat Coulomb (C) als Einheit und die Kraft Newton (N). Somit Ergibt sich: Ns/Cm. Newton pro Coulomb hatten wir bereits, dies können wir umschreiben: Vs/mm. Für den Ausdruck Voltsekunde pro Quadratmeter führte man T (Tesla) ein, daher ist die Einheit des magnetischen Feldes: T (Tesla).

 

Überlege dir, ausgehend von der Lorentzkraft $\vec{F} = q\vec{v} \times \vec{B}$, welche Kraft auf einen vom Strom $I$ durchflossenen Leiter der Länge $l$ wirkt!

 

Wir haben also zwei Kraftanteile: den elektrischen und den magnetischen Anteil, wir können beide Teile zur Lorentzkraft im weiteren Sinn zusammen:

$\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$

 

Damit haben wir jetzt also einen Ausdruck, welche Kraft auf eine Probeladung q im elektromagnetischen Feld wirkt. Wie kann man nun Ladungen und Ströme beschreiben?

Wenn wir die in einem Raum vorhandene Ladung durch das Volumen des Raumes dividieren, erhalten wir die sogenannte Ladungsdichte ρ ("rho"), also Ladung pro Volumen. Genauer gesagt: die elektrische Raumladungsdichte mit der Einheit $\frac{C}{m^{3}}$.

Das ist die Ladung, die irgendwo im Raum festsitzt. Es gibt aber auch noch den Fall, dass sich Ladungen bewegen und z.B. durch Flächen hindurch fließen können:

 

Fliegende Ladungen

Ladungen bewegen sich mit der Geschwindigkeit $\vec{v}$ durch eine Fläche

 

Nehmen wir einmal an, alle bewegten Ladungen fliegen mit derselben Geschwindigkeit in dieselbe Richtung. Dann können wir der Einfachheit halber eine Fläche betrachten, die senkrecht zur Bewegungsrichtung steht und bestimmen, wie viele Ladungsträger durch diese Fläche fliegen. Damit erhalten wir am Ende einen Ladungsstrom, der einen bestimmten Wert hat und in eine bestimmte Richtung fließt. Wir erhalten hier also wieder einen Vektor, der in die Bewegungsrichtung der Ladungsträger zeigt und dessen Länge (bzw. dessen Betrag) angibt, wie viel Ladung pro Flächenelement fließt. Ladung pro Fläche ergibt wieder eine Dichte, deshalb nennen wir den Vektor elektrische Stromdichte Vektor J.

Diese Stromdichte Vektor J kann auch als ein Vielfaches der Geschwindigkeit $\vec{v}$ angeschrieben werden, nämlich als Geschwindigkeit mal Raumladungsdichte ρ: J= roh v

Wir haben jetzt jedoch nur ein vereinfachtes Szenario betrachtet: Wir haben uns auf positive Ladungen beschränkt, die sich alle in dieselbe Richtung bewegen. Wie würde es aber in diesem Fall aussehen? (violett: positive Ladungen, blau: negative Ladungen):

Positive und Negative Ladungen im Raum

Bewegte positive und negative Ladungen im Raum

 

Zum Glück gibt es einen einfachen Zusammenhang zwischen Raumladungsdichte und Stromladungsdichte, der das Ganze etwas vereinfacht. Betrachten wir wieder ein Volumen im Raum:

Volumen

Wenn wir notieren, wie viel einer bestimmten Ladungsmenge links ins Volumen hinein fließt und rechts wieder hinaus (entlang der x-Achse) und genauso oben und unten sowie auf der Rück- und Vorderseite, dann wissen wir um wie viel sich die Raumladungsdichte im Inneren verändert haben muss. Überlegen wir zuerst, welcher Ladungsbeitrag aus dem Volumen hinaus fließt, wenn wir das Volumen winzig klein machen. Solche zeitlichen Änderungen können wir wieder sehr elegant über eine Ableitung angeben, d.h. das entspricht dJx/dx für die x-Komponente und analog für die y und z Komponente. Der gesamte Ausdruck divergenz J sagt uns also, wie viel Ladung aus unserem unendlich kleinen Volumen austritt. So etwas haben wir bereits kennengelernt, wir sprechen hier von der Divergenz, die wie beschrieben die Quellendichte angibt (also wie viel fließt aus diesem Volumen hinaus). Um nun eine Verbindung zur Raumladungsdichte herzustellen, überlegen wir uns folgendes: Wenn der Ausdruck divergenz J angibt, wie viel insgesamt aus dem Volumen hinaus fließt, muss das genau der Beitrag sein, um den sich die Raumladungsdichte im Inneren verändert hat, d.h. - drho / dt. Also die zeitliche Änderung der Raumladungsdichte entspricht dem, was durch die Grenzflächen unseres Volumens nach außen geflossen ist (räumliche Änderung der Stromdichte). Ausgedrückt in der sogenannten Kontinuitätsgleichung erhalten wir am Ende: 

div J

Diese Form von Gleichungen sind sehr berühmt in der Physik und kommen in vielen verschiedenen Bereichen vor. Mit der Kontinuitätsgleichung und den Begriffen der Strom- und Ladungsdichte haben wir jetzt endlich alles beisammen, um die Maxwellgleichungen genauer zu verstehen.

Suche

Seite drucken

Diese Seite teilen

Nach oben